Question

Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б .

Answer 1

$z=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

1.    1. Считаем что у это константа и находим производную по х.

$z'_x=(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})'_x=\\\frac{(x^2-y^2)'_x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(x^2+y^2)'_x}{(x^2+y^2)^2}=\\\frac{(2x-0)(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(2x+0)}{(x^2+y^2)^2}=\\\frac{2x^3+2xy^2-2x^3+2xy^2}{(x^2+y^2)^2}=\\\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2}$

1.    2. Считаем что х это константа и находим производную по у.

$z''_{xy}=(\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2})'_y=\\\frac{(4xy^2)'_y(x^2+y^2)^2-(4xy^2)((x^2+y^2)^2)'_y}{(x^2+y^2)^4}=\\\frac{(8xy)(x^4+2x^2y^2+y^4)-(4xy^2)2(x^2+y^2)(0+2y)}{(x^2+y^2)^4}=\\\frac{8yx^5+16x^3y^3+8xy^5-16y^3x^3-16xy^5}{(x^2+y^2)^4}=\\\frac{8yx^5-8xy^5}{(x^2+y^2)^4}$

И теперь наоборот.

2.    1. Считаем что х это константа и находим производную по у.

$z'_y=(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})'_y=\\\frac{(x^2-y^2)'_y(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(x^2+y^2)'_y}{(x^2+y^2)^2}=\\\frac{(0-2y)(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(0+2y)}{(x^2+y^2)^2}=\\\frac{-2yx^2-2y^3-2yx^2+2y^3}{(x^2+y^2)^2}=\\\frac{-4yx^2}{(x^2+y^2)^2}$

2.    2. Считаем что у это константа и находим производную по х.

$z''{yx}=(\frac{-4yx^2}{(x^2+y^2)^2})'_x=\\\frac{(-4yx^2)'_x(x^2+y^2)^2-(-4yx^2)((x^2+y^2)^2)'_x}{(x^2+y^2)^4}=\\\frac{-8yx(x^4+2x^2y^2+y^4)+4yx^2(2(x^2+y^2)(2x+0))}{(x^2+y^2)^4}=\\\frac{-8yx^5-16x^3y^3-8xy^5+16yx^5+16x^3y^3}{(x^2+y^2)^4}=\\\frac{-8xy^5+8yx^5}{(x^2+y^2)^4}$

Проверяем

$\frac{8yx^5-8xy^5}{(x^2+y^2)^4}=^?\frac{-8xy^5+8yx^5}{(x^2+y^2)^4}$

Да они равны, значит не имеет значения с какой переменной начинать дифференцирование.