Question

Решить универсальным методом тригонометрической подстановки:

$\int\limits^ {} \, \frac{dx}{2sinx-3cosx}$



----

$t=tg\frac{x}{2} \\sinx=\frac{2t}{1+t^{2} } \\cosx=\frac{1-t^{2} }{1+t^{2} } \\\\dx=\frac{2dt}{1+t^{2} }$

....

Answer 1

Согласно формулам  тригонометрической подстановки имеем:

int  (2dt/(1+t^2) / ( ( 4t-3+3t^2)/(1+t^2) ) )=2*int(dt/(3t^2+4t-3) )=

=2*int(3*dt/(9t^2+12t-9) )=2*int(3*dt/ ( (3t+2)^2 -13) )

Заметим что подынтегральное  выражение представляет собой выражение  вида:

1/(a^2-b^2)=   1/(a-b)*(a+b)=   1/2b   *  (1/(a-b)   -1/(a+b))

a=3t+2   b=√13    1/2b=1/2√13

1/√13  *int ( ( 3/(3t+2-√13)   -3/(3t+2+√13) *dt )=                                                     1√13 * (ln(3t+2-√13) -ln(3t+2+√13) +c=                                                                  =ln( (3tg(x/2)+2-√13)/(3tg(x/2) +2+√13) ) /√13   +c

Ответ:  ln( (3tg(x/2)+2-√13)/(3tg(x/2) +2+√13) ) /√13   +c