Question

Площадь вписанного параллелограмма через производную.

Answer 1

Пусть сторона параллелограмма на АВ равна х, вторая у.

Остаток стороны АВ равен 4 - х.

Из подобия треугольников запишем: (4 - х)/у = 4/10 = 2/5.

Отсюда получаем зависимость сторон х и у: 2у = 20 - 5х,

Сократим на 2: у = 10 - 2,5х.

Высота параллелограмма равна х*sin 30° = x /2.

Получаем зависимость площади параллелограмма от переменной х:

S = (x/2)*y = (x/2)*( 10 - 2,5х) = 5x - 1,25x².

Производная этой функции равна: y' = 5 - 2,5x.

Приравняем нулю:  5 - 2,5х = 0.

Отсюда х = 5/2,5 = 2. Это точка экстремуму.

Определим знаки производной левее и правее этой точки для определения характера экстремума.

х =    1,5     2     2,5

y' = 1,25   0 -1,25 .

Как видим, в точке х = 2 максимум (переход с + на -).

Ответ: S = 5x - 1,25x² = 5*2 - 1,25*4 = 10 - 5 = 5 кв.ед.