Question

Помогите пожалуйста с решением комбинаторного уравнения! Много баллов даю!

Answer 1

Ответ:

x = 7, y =3.

Пошаговое объяснение:

Из формул для числа размещений и сочетаний следует, что $A^{y-1}_x = C_x^{y-1} \cdot (y-1)!$.

По условию, $A_x^{y-1} = 2 \cdot C_x^{y-1}$. Отсюда $(y-1)! = 2$ и $y = 3$. Будем считать, что $x - 1 \geq y$, то есть, $x \geq 4$.

Поскольку $A^3_{x-1} = (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3), \ A^2_{x-1} = (x-1) \cdot (x-2), A_x^2 = x(x-1)$,

то получаем уравнение

$(x-1)\cdot (x-2) \cdot (x-3) + 3 \cdot (x-1) \cdot (x-2) = \frac{10}{2} \cdot x \cdot (x-1)$

Поскольку $x \geq 4$, то мы можем разделить обе части уравнения на $x - 1$

$(x-2) \cdot (x-3) + 3 \cdot (x-2) = 5 \cdot x\\(x-2) \cdot x = 5 \cdot x \\ x = 7$

Проверка:

$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21, A_7^2 = 7 \cdot 6 = 42 = 2 \cdot 21, \\\\A_6^3 + 3 \cdot A_6^2 = 6 \cdot 5 \cdot 4 + 3 \cdot 6 \cdot 5 = 6 \cdot 5 \cdot 7 = 210 = 10 \cdot 21.$