Question

Ребят , кто может, прошу помогите с высшей матем-кой.. очень нужно , 100 баллов

Answer 1

Значит, так
основная, формула, которая позволяет вычислить площадь криволинейной трапеции имеет вид
$s = \int _ {a}^{b} f(x)dx$
В Вашем случае, функция f(x) задана параметрическими уравнениями : {х=x(t), y=y(t), t0<=t<=t1} и основная формула принимает вид
$s = \int _ { t_{0} }^{ t_{1} } y(t) x \prime(t)dt$
Подставляем в последнюю формулу данные из условия задачи:
$s = \int _ {0}^{ \frac{\pi}{4} } 4(1 - \cos{t}) (4(t - \sin{t})\prime dt = \\ = 16 \int _ {0}^{ \frac{\pi}{4} } (1 - \cos{t})(1 - \cos{t})dt = \\ = 16 \int _ {0}^{ \frac{\pi}{4} } {(1 - \cos{t}})^{2} dt =$
$= 16 \int _ {0}^{ \frac{\pi}{4} } (1 - 2\cos{t} + { \cos }^{2} {t} )dt = \\ \\ = 16 \int _ {0}^{ \frac{\pi}{4} } (1 - 2\cos{t} + \frac{ 1 + \cos{2t} }{2} )dt = \\ = 16 \int _ {0}^{ \frac{\pi}{4} }( \frac{3}{2} - 2 \cos{t} + \frac{ \cos{2t}}{2} )dt = \\ = 8(3t - 4 \sin{t} + \frac{1}{2} \sin{2t}) | _ {0}^{ \frac{\pi}{4} } = \\ = 8( \frac{3\pi}{4} - 2 \sqrt{2} + \frac{1}{2} ) = \\ = 6\pi - 16 \sqrt{2} + 4$

При вычислении интеграла использовали формулы: квадрат разности, понижение степени косинуса и табличные интегралы.