Question

Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б . С исследованием пожалуйста.

Answer 1

$y=\frac{x}{\ln{x}}$

1. Область определения: На ноль делить нельзя --> $\ln{x\neq }0=>x\neq 1$ и х не отрицательный т.к. х под натуральным логарифмом. Итоге: x∈[0;1)∪(1;+∞)

2. Функция общего вида т.к. f(-x)≠±f(x)

3. Точки пересечения с осями:

$\frac{x}{\ln{x}}=0 \\\left \{ {{x=0} \atop {\ln{x}\neq 0=>x\neq }1} \right. \\(0;0)\\\frac{0}{\ln{0}} =0$ Только одна точка (0;0)

4. Исследование с 1ой производной:

$y'=\frac{1*\ln{x}-x*\frac{1}{x} }{\ln^2{x}} =\frac{\ln{x}-1}{\ln^2{x}}$

см. внизу.

$y(e)=\frac{e}{\ln{e}} =e$

5. Исследование со 2ой производной:

$y'=\frac{\ln{x}-1}{\ln^2{x}}\\y''=\frac{\frac{\ln^2{x}}{x} -2\ln{x}*\frac{1}{x}*(\ln{x}-1)}{\ln^4{x}} =\\\frac{\ln{x}-2\ln{x}+2}{x*\ln^3{x}}=\\\frac{-(\ln{x}-2)}{x\ln^3{x}}$

см. внизу.

$y(e^2)=\frac{e^2}{\ln{e^2}}= \frac{e^2}{2}$

6. Асимптоты:

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: $\lim_{x\to\infty}{(kx+b-f(x))}$

Находим коэффициент k: $k=\lim_{x\to\infty}{\frac{f(x)}{x}}\\k=\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{x}{ln(x)}}{x}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{ln(x)}}=0$

Находим коэффициент b: $b=\lim_{x\to\infty}{f(x)-k*x}\\b=\lim_{x\to\infty}{\frac{x}{ln(x)}-0*x}=\lim_{x\to\infty}{\frac{x}{ln(x)}}=\infty$

Предел равен ∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют.

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: $x=1$

Находим переделы в точке 1: $\lim_{x\to1-0}{\frac{x}{ln(x)}}=-\infty\\\lim_{x\to1+0}{\frac{x}{ln(x)}}=\infty$

Значит точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.