Question

Найдите наибольшее значение функции натурального аргумента.

По возможности решить двумя способами:
1. Рассмотреть знак разности f(n+1)−f(n)
2. Через производную

Жду максимально подробного решения.

Answer 1

пусть f(n) - наибольшее значение функции, это означает, что

f(n)>f(n+1)

и

f(n)>f(n-1)

$f(n)-f(n+1)=(15-n^2)\cdot3^{n}-(15-(n+1)^2)\cdot3^{n+1}=\\ \\=3^{n}\cdot(15-n^2-3\cdot(15-n^2-2n-1))=3^{n}\cdot (2n^2+6n-27)$

3^{n} >0  при любом n>1

2n²+6n-27 > 0

D=36-4·2·(-27)=252

n > (-6+√252)/4, n - натуральное и не принимает отрицательных значений

$f(n)-f(n-1)=(15-n^2)\cdot3^{n}-(15-(n-1)^2)\cdot3^{n-1}=\\ \\=3^{n-1}\cdot(45-3n^2-15+n^2+2n+1)=3^{n-1}\cdot (31-2n^2+2n)$

3^{n-1} >0  при любом n >2

-2n²+2n+31 > 0

2n²-2n-31 <0

D=4-4·2·(-31)=252

n < (2+√252)/4

(-6+√252)/4 < n < (2+√252)/4⇒  

(-6+√252)/4≈2,5

(2+√252)/4≈4,5

n=3  или   n=4

при n=3

f(3)=(15-9)·3³=162

при n=4

f(4)=(15-16)·3⁴=81

О т в е т. 162

Пусть

f(x)=(15-x²)·3ˣ

f`(x)=-2x·3ˣ+(15-x²)·3ˣ·ln3

f`(x)=3ˣ·(-2x+15ln3-x^2ln3)

f`(x)=0

x^2ln3+2x-15ln3=0

D=4-4·ln3·(-15ln3)=4+64ln3

x_(1)≈   x_(2)≈