Question

Однородная цепочка длины L частично лежит на столе, частично свешивается с него. Какова максимальная длина L1 свешивающейся со стола части цепочки, если коэффициент трения между цепочкой и столом равен μ​

Answer 1

Граничное условие: сила тяжести, действующая на свешивающуюся часть цепочки должна быть по модулю равна силе трения покоя, действующей на ту часть цепочки, что лежит на столе.

Т.к. цепочка однородна, то можно ввести величину ее линейной плотности k.

Тогда масса свешивающейся части будет равна:

m1 = L1 × k

Масса части на столе будет равна:

m2 = (L - L1) × k

Модуль силы тяжести равен:

F1 = m1 × g

Модуль силы трения покоя равен:

F2 = m2 × g × μ

Получаем равенство:

m1 × g = m2 × g × μ

Обе части делим на g, и остается:

m1 = m2 × μ

k × L1 = k × (L - L1) × μ

Сокращаем обе части на k, остается

L1 = L × μ - L1 × μ

L1 + L1 × μ = L × μ

L1 × (1 + μ) = L × μ

L1 = L × μ / (1 + μ)

Всё.