Question

Найти интегралы помогите пожалуйста !

Answer 1

$2a)\; \; \int \frac{5\, dx}{3x+7}=[\; t=3x+7\; ,\; dt=3\, dx\; ]=\frac{5}{3}\int \frac{dy}{t}=\frac{5}{3}\cdot ln|t|+C=\\\\=\frac{5}{3}\cdot ln|3x+7|+C\\\\\\2b)\; \; \int e^{x^4}\cdot x^3\, dx=[\; t=x^4\; ,\; dt=4x^3\, dx\; ]=\frac{1}{4}\int e^{t}\cdot dt=\frac{1}{4}\cdot e^{t}+C=\\\\=\frac{1}{4}\cdot e^{x^4}+C\\\\\\3a)\; \; \int \limits _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx\, dx}{\sqrt[3]{sin^2x}}=[\; t=sinx\; ,\; dt=cosx\, dx\; ,\; \int \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}}=\frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=3\sqrt[3]{t}+C\; ]=$

$=3\sqrt[3]{sinx}\Big |_0^{\frac{\pi}{2}}=3\cdot (\sqrt[3]1-\sqrt[3]0)=3\\\\\\3b)\; \; \int\limits^1_0\, (2x^3-1)^4\cdot x^2\, dx=[\; t=2x^3-1\; ,\; dt=6x^2\, dx\; ,\\\\\frac{1}{6}\int t^4\, dt=\frac{1}{6}\cdot \frac{t^5}{5}+C\; ]=\frac{1}{30}\cdot (2x^3-1)^5\Big |_0^1= \frac{1}{30}\cdot (1^5-(-1)^5)=\\\\=\frac{1}{30}\cdot (1+1)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$