Question

Помогите!!! Вычислить интегралы:

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^{\sqrt3}_0 \frac{x\, dx}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{4}\int\limits^{\sqrt3}_0\frac{2x\, dx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{1+x^2}\Big |_0^{\sqrt3}=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt4-\sqrt1)=\frac{1}{2}\\\\2)\; \; \int\limits^3_0\, x\, e^{x^2}\, dx=\frac{1}{2} \int\limits^3_0\, 2x\cdot e^{x^2}\, dx=\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\Big |_0^3=\frac{1}{2}\cdot (e^9-1)\\\\3)\; \; \int\limits^{\pi }_{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx\, dx}{(1-cosx)^2}=[\; t=1-cosx\; ,\; dt=sinx\, dx\; ,\; \int \frac{dt}{t^2}=\frac{t^{-3}}{-3}+C]=$

$=\frac{(1-cosx)^{-3}}{-3}\Big |_{\frac{\pi}{2}}^{\pi }=-\frac{1}{3}\cdot \Big (\frac{1}{(1-cos\pi )^3}-\frac{1}{(1-cos\frac{\pi}{2})^3}\Big )=-\frac{1}{3}\cdot \Big (\frac{1}{8}-\frac{1}{1}\Big )=\frac{7}{24}\\\\\\P.S.\; \; \; \; \; d\, (1+x^2)=(1+x^2)'\, dx=2x\, dx\\\\d\, (x^2)=(x^2)'\, dx=2x\, dx$