Question

Математики,які ще не сплять. Допоможіть!
Обчисліть похідні за допомогою логарифмічного диференціювання

Answer 1

a)

$\(y=(\sqrt{x})^{sinx}\)$

$\(lny=ln(\sqrt{x})^{sinx}\)$

$\(lny=0,5sinxlnx\)$

$\((lny)'=(0,5sinxlnx)'\)$

$\(\frac{y'}{y}=0,5cosxlnx+0,5sinx\frac{1}{x}\)$

$\(\frac{y'}{y}=0,5cosxln\sqrt{x}+\frac{sinx}{2x}\)$

$\(y'=y(0,5cosxln\sqrt{x}+\frac{sinx}{2x})\)$

$\(y'=(\sqrt{x})^{sinx}(0,5cosxln\sqrt{x}+\frac{sinx}{2x})\)$

б)

$\(y=\frac{(4x-7)^2(x+4)^5}{(2x+9)^3}\)$

$\(lny=ln\frac{(4x-7)^2(x+4)^5}{(2x+9)^3}\)$

$\(lny=ln(4x-7)^2+ln(x+4)^5-ln(2x+9)^3\)$

$\(\frac{y'}{y}=(ln(4x-7)^2+ln(x+4)^5-ln(2x+9)^3)'\)$

$\(\frac{y'}{y}=(2ln(4x-7)+5ln(x+4)-3ln(2x+9))'\)$

$\(\frac{y'}{y}=2\frac{4}{4x-7}+5\frac{1}{x+4}-3\frac{2}{2x+9}\)$

$\(\frac{y'}{y}=\frac{8}{4x-7}+\frac{5}{x+4}-\frac{6}{2x+9}\)$

$\(y'=y(\frac{8}{4x-7}+\frac{5}{x+4}-\frac{6}{2x+9})\)$

$\(y'=\frac{(4x-7)^2(x+4)^5}{(2x+9)^3}(\frac{8}{4x-7}+\frac{5}{x+4}-\frac{6}{2x+9})\)$