Question

помогите с заданием, пожалуйста​

Answer 1

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{(x)(x+4)}$

1) Каждое слагаемое представим в виде разности двух дробей:

$1)\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

$2)\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$

$3)\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}$

$4)\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}$

2) А теперь данное равенство примет вид:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}$

$\frac{1}{x}-(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1})-(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+2})-(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+3})-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}$

$\frac{1}{x}-0-0-0-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}$

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}$

$\frac{x+4-x}{x(x+4)}=\frac{4}{x(x+4)}$

$\frac{4}{x(x+4)}=\frac{4}{x(x+4)}$

Доказано.

Если х≠0; х≠ -1; х≠ -2; х≠ -3; х≠ -4, тогда данное равенство является тождеством.  

Иначе, при всех значениях х, кроме 0; -1; -2; -3; 4 данное равенство является тождеством.