Question

СРОЧНО
Доказать тождество

2sin2α+cos( 3π /2 −α )−sin(π+α) / 1+sin⁡( 3π/ 2 −α )= −2sinα

Подробно желательно.

Answer 1

$\frac{2\sin{2a}+\cos{(3\pi/2-a)}-\sin{(\pi+a)}}{1+\sin{(3\pi/2-a)}} =-2\sin{a}\\1.\cos{(3\pi/2-a)}=\cos{3\pi/2}*\cos{a}+\sin{3\pi/2}*\sin{a}=\\=0*\cos{a}-1*\sin{a}=-\sin{a}\\2.-\sin{(\pi+a)}=\sin{a}\\1.+2.=0\\3.\sin{(3\pi/2-a)}=\sin{3\pi/2}*\cos{a}-\cos{3\pi/2}*\sin{a}=\\=-\cos{a}-0*\sin{a}=-\cos{a}$

Объединим вычисления.

$\frac{2\sin{2a}}{1-\cos{a}} =-2\sin{a}\\\frac{2*2\sin{a}\cos{a}}{1-\cos{a}} =-2\sin{a}$

Как видно тождество верно не всегда, проще говоря это обычное уравнение, найдём знания а, когда это уравнение верное.

$\left \{ {{4\sin{a}\cos{a}=-2\sin{a}+2\sin{a}\cos{a}} \atop {1-\cos{a}\neq 0}} \right. \\\left \{ {{2\sin{a}\cos{a}+2\sin{a}=0} \atop {\cos{a}\neq 1}} \right.\\\left \{ {{2\sin{a}(1+\cos{a})=0} \atop {\cos{a}\neq 1}} \right.\\\left \{ {{a\neq 2\pi*n} \atop {\left[\begin{array}{ccc}x=\pi*k\\x=\pi+2\pi*k\\\end{array} }} \right.$

Ответ: a=π+2π*k, k∈Z.