Question

Пожалуйста, помогите найти предел. (Ответ 1/(2√х))

Answer 1

$\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt x)(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}=\\\\\\=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x)}=\\\\\\=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$