Question

Послідовність b(n), є геометричною прогресією, у якій b(4)=8,b(7)=512.
1)Знайдіть знаменник цієї прогресії
2)Скільки перший членів прогресії потрібно взяти, щоб їхня сума дорівнювала 2цілих пять восьмих
Напишіть з формулами, розв'язування. Дуже треба поможіть. Віддячу.

Answer 1

Дано:

b(n) - геометрическая прогрессия;

b₄ = 8;

b₇ = 512

1) Найти q.

2) Найти n при S(n)=2 ⁵/₈

Решение.

1) Воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$

$b_4=b_1q^3;$

$b_7=b_1q^6;$

Подставим  b₄ = 8; и b₇ = 512 и получим:

$8=b_1q^3$;

$512=b_1q^6$

Второе уравнение преобразуем:

$512=b_1q^3 *q^3$

Подставим из первого уравнения $b_1q^3=8$ во второе и получим:

$512=8 *q^3$

$q^3=512:8$

$q^3=64$

$q=\sqrt[3]{64}$

$q=4$

2) Найдем b₁ с помощью первого уравнения:

$8=b_1q^3=>8=b_1*4^3$

$b_1=\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$

$b_1=\frac{1}{8}$

3)Воспользуемся формулой суммы первых членов геометрической прогрессии:

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Подставим  $S_n=2\frac{5}{8};q=4;b_1=\frac{1}{8}$

$2\frac{5}{8} =\frac{\frac{1}{8}*(4^n-1)}{4-1}$

$\frac{21}{8} =\frac{4^n-1}{8*3}$

$8*(4^n-1)=21*8*3$

$4^n-1=63$

$4^n=63+1$

$4^n=64$

$4^n=4^3$

$n=3$

3 перших члена прогресії потрібно взяти, щоб їхня сума дорівнювала

2 ⁵/₈

Ответ: 1) q=4;

           2) n=3

Проверка:

¹/₈ + ⁴/₈ + ¹⁶/₈ = ²¹/₈ = 2 ⁵/₈