Question

Найти объем тела,ограниченного поверхностями

Answer 1

Область D: x²+5y²=5 - эллипс.

$V=\int \, \int_{D} {(5-(x^2+5y^2))} \, dx dy$

Переходим к обобщенным полярным координатам

x=√5ρcosφ

y=ρsinφ

Якобиан

|J|=√5ρ

Подынтегральная функция

5-(x^2+5y^2)=5-5ρ²

V=∫¹₀√5ρdρ∫²ⁿ₀(5-5ρ²)dφ= (5-5ρ²) не зависит от φ, можно вынести множитель за знак интеграла)

=∫¹₀√5ρ(5-5ρ²)dρ (2π-0) =2π·5√5(ρ²/2 - ρ⁴/4)|¹₀=

=10√5π·(1/2 - 1/4)=5√5π/2