Question

(x^2+1)/(x^2-1)+6(x^2-1)/(x^2+1)-5=0
решите с введением новой переменной

Answer 1

$\(\frac{x^2+1}{x^2-1}+6\frac{x^2-1}{x^2+1}-5=0\)$

ОДЗ: х≠±1

Замена: $\(\frac{x^2+1}{x^2-1}=t\)$, t≠0

$\(t+6\frac{1}{t}-5=0\)$

$\(t^2+6-5t=0\)$

$\(t^2-5t+6=0\)$

$\(t_1=2;\,t_2=3\)$

Возвращаемся к замене:

$\(\frac{x^2+1}{x^2-1}=2\)$ или  $\(\frac{x^2+1}{x^2-1}=3\)$

1) $\(x^2+1=2(x^2-1);\,\)$ $\(x^2+1=2x^2-2;\,\)$

$\(x^2=3;\,\)$ $\(x_1=\sqrt{3};\,x_2=-\sqrt{3}.\)$

2) $\(x^2+1=3(x^2-1);\,\)$ $\(x^2+1=3x^2-3;\,\)$

$\(2x^2=4;\,\)$ $\(x^2=2;\,\)$ $\(x_3=\sqrt{2};\,x_4=-\sqrt{2}.\)$

Ответ: $\(x_1=\sqrt{3};\,x_2=-\sqrt{3};\,x_3=\sqrt{2};\,x_4=-\sqrt{2}.\)$