Question

Исследуйте данную последовательность на монотонность и ограниченность. Ответ обоснуйте
$xn = \frac{( - {1)}^{n} }{n ^{2} + 1}$
​

Answer 1

Данная последовательность не монотонна, так как она знакочередующаяся:

$x_{2n}>0, x_{2n+1}<0$

Из этого следует, что

$x_{2n} >x_{2n+1}\\ x_{2n+1} <x_{2n+2}$

Что нарушает условие монотонности

$x_{n}\geq x_{n+1}$ ∀ $n$ ∈Ν или

$x_{n}\leq x_{n+1}$ ∀ $n$ ∈Ν

Используем теорему об ограниченности сходящейся последовательности. Так как при $n$→∞ $x_{n}$→0, то последовательность ограничена.

В случае, если теорема не изучалась, можно поступить следующим способом:

Так как |$x_{n}$|$\geq$|$x_{n+1}$|, а $x_{0}=1$, то |$x_{n}$|$\leq 1$, что означает ограниченность последовательности