Question

Проверьте, что при n= 1, 2, 3, верна ли формула?
$1^{3}+2^{3}+3^{3} + ... n^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2} }{4}$
Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.

Answer 1

применяем метод математической индукции

1. проверяем при n=1  

1³ = 1²*(1+1)²/4 = 1 верно

хотите сами проверьте для 2 и 3 (это не надо при примении ММИ)

2. допустим верно для n=k

3. докажем n=k+1

1³ + 2³ + .... + k³ + (k+1)³ = (k+1)²(k+2)²/4

k²(k+1)²/4 + (k+1)³ = k²(k+1)²/4 + 4(k+1)³/4 = (k+1)²(k² + 4k + 4)/4 = (k+1)²(k+2)²/4

доказали

верно для всех натуральных n