Question

На рисунке 4 AM=5 см MB=10 см AC=12 см. Найти площадь четырехугольника AMKC

Answer 1

AB = AM+MB;

AB = 5+10 = 15 см.

В прямоугольном △ABC по теореме Пифагора:

AC²+BC² = AB²;

BC² = AB²-AC²;

BC² = 15²-12²;

BC² = 3²·(25-16) = 9²;

BC = 9 см.

AC⊥BC и MK⊥BC ⇒ AC║MK;

∠CAB = ∠KMB, как соответственные углы при AC║MK и секущей AM.

Прямоугольные треугольники CAB и KMB подобны по острому углу (∠CAB = ∠KMB), тогда получим одинаковое отношение для сходственных сторон:

$\dfrac{AB}{MB} =\dfrac{AC}{MK} =\dfrac{BC}{BK};\\\\\dfrac{AB}{MB} =\dfrac{AC}{MK} \Rightarrow MK=AC:\dfrac{AB}{MB};$

$MK=AC\cdot \dfrac{MB}{AB} =12\cdot \dfrac{10}{15} =\dfrac{12\cdot 2}{3} =4\cdot 2=8$ см

$\dfrac{AC}{MK} =\dfrac{BC}{BK} \Rightarrow BK =BC:\dfrac{AC}{MK};$

$BK=BC\cdot \dfrac{MK}{AC} =9\cdot \dfrac{8}{12} =\dfrac{9\cdot 2}{3} =3\cdot 2=6$ см

KC = BC-BK = 9-6 = 3 см.

AC║MK, AM∩KC ⇒ AMKC - трапеция;

• Площадь трапеции равна полусумме оснований, помноженной на её высоту.

KC⊥AC ⇒ KC - высота трапеции;

AC и MK - основания трапеции;

$S_{AMKC} =\dfrac{AC+MK}{2}\cdot KC;$

$S_{AMKC} =\dfrac{12+8}{2}\cdot 3=\dfrac{20}{2}\cdot 3=10\cdot 3=30$ см².

Ответ: 30см².