Question

Вычеслить определенный интеграл.

Answer 1

Ответ:

$\int\limits^0_{-3} {\frac{dx}{x^2+6x+10} }=arctan(3)\approx1,249$

$\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_{\frac{\pi}{4} } {cos^5x\cdotsin2x} \, dx=\frac{\sqrt{2} }{56}\approx 0,0252$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^0_{-3} {\frac{dx}{x^2+6x+10} }=\int\limits^0_{-3} {\frac{dx}{(x^2+2\cdot3\cdot x+3^2)+1} }=\int\limits^0_{-3} {\frac{dx}{(x+3)^2+1} }=\int\limits^0_{-3} {\frac{d(x+3)}{(x+3)^2+1} }=$

$=arctg(x+3)\begin{vmatrix}0\\-3\end{vmatrix}=arctg(0+3)-arctg(-3+3)=arctg(3)-arctg(0)=arctg(3)\approx1,249$

$\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_{\frac{\pi}{4} } {cos^5x\cdotsin2x} \, dx= \int\limits^{\frac{\pi}{2} }_{\frac{\pi}{4} } {cos^5x\cdot2sinx\cdot cosx} \, dx=2\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_{\frac{\pi}{4} } {cos^6x\cdot sinx} \, dx=$

$=\begin{vmatrix} t=cosx&dt=-sinxdx \\ x_2=\frac{\pi}{2} &t_2=cos\frac{\pi}{2}=0\\x_1= \frac{\pi}{4} &t_1=cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2} }\end{vmatrix}=-2\int\limits^{0 }_{\frac{1}{\sqrt{2} } } {t^6} \, dt=-\frac{2}{7}t^7\begin{vmatrix}0\\\frac{1}{\sqrt{2} }\end{vmatrix}=-\frac{2}{7}\cdot(0^7-(\frac{1}{\sqrt{2}})^7)=\frac{2}{7\cdot8\sqrt{2} }=\frac{\sqrt{2} }{56}\approx 0,0252$