Question

Дано :
Треугольник ABC
Угол B = 90°
CM - медиана

Доказать :
Угол CMB > угол САВ > угол АСМ

Answer 1

Достроим ΔABC до прямоугольника AB'CB. O - центр AC, эта точка является центром симметрии для прямоугольника. Поэтому, если M' - середина B'C, то CM║AM'.

∠BMC = ∠BAM', как соответственные углы при CM║AM' и секущей BA.

∠BAM' = ∠CAB+∠CAM' ⇒ ∠BAM'=∠BMC > ∠CAB. Первая часть неравенства доказана.

В прямоугольном ΔMBC (∠B=90°): MB<MC т.к. катет меньше гипотенузы.

BM=AM т.к. CM - медиана.

В ΔMAC:

AM<MC ⇒ ∠ACM < ∠CAM  т.к. в одном треугольнике напротив меньшей стороны находится меньший угол.

Получили: ∠CAB > ∠ACM. Вторая часть неравенства доказана.

В итоге ∠BMC > ∠CAB > ∠ACM ч.т.д.