Question

В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности описанной около квадрата.

Answer 1

Дано :

Точка О - центр описанной около ΔАВС окружности.

ΔАВС - правильный (равносторонний).

ОВ - радиус описанной около ΔАВС окружности = 4 дм.

Четырёхугольник AЕDC - квадрат.

Отрезок О₁Е - радиус описанной около квадрата AЕDC окружности.

Найти :

О₁Е = ?

Решение :

• Радиус описанной около правильного треугольника окружности через сторону можно найти по такой формуле -

$R = \frac{a}{\sqrt{3} }$

Где R - радиус описанной около правильного треугольника окружности, а - длина стороны правильного треугольника.

Тогда -

$OB = \frac{AC}{\sqrt{3} } \\\\4 = \frac{AC}{\sqrt{3} } \\\\AC = 4\sqrt{3}$

AC = 4√3 (дм).

Рассмотрим квадрат AЕDC.

• Радиус окружности, описанной около квадрата, равна половине диагонали этого квадрата.

Диагональ найдём по теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы).

CD = AC = AE = ED = 4√3 (ед).

По выше сказанному -

$CD^{2} + DE^{2} = CE^{2} \\\\(4\sqrt{3})^{2} + (4\sqrt{3})^{2} = CE^{2} \\\\48 + 48 = CE^{2}\\\\CE^{2} = 96\\\\CE = \sqrt{96} \\\\ CE = 4\sqrt{6$

По выше сказанному -

$O_{1}E = \frac{CE}{2} \\\\O_{1}E = \frac{4\sqrt{6} }{2} \\\\O_{1}E = 2\sqrt{6}$

O₁E = 2√6 (дм).

Ответ :

2√6 (дм).