Question

Определить кривую, проходящую через точку (-1;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания.

Answer 1

По условию: "угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания". То есть k=y²

Также исходя из геометрического смысла производной:

y'(x)=tgα=k=y²

Решаем дифференциальное уравнение:

$y'=y^2 \\ \\ \frac{dy}{dx} =y^2 \\ \\ \int \frac{dy}{y^2}=\int dx$

Кривая проходит через точку (-1;1), значит

$-\frac{1}{1} =-1+C \\ -1=-1+C \\ C=0$

$-\frac{1}{y}=x\\ y=-\frac{1}{x}$

OTBET:  y=-1/x - гипербола