Question

Для всякого а решите уравнение 2х^2-(3а+2)х+3а=0​

Answer 1

Найдем дискриминант и рассмотрим три случая.

1) Когда дискриминант будет больше 0. В этом случае уравнение имеет 2 корня.

2) Когда дискриминант равен 0. В этом случае уравнение имеет 1 корень.

3) Когда дискриминант меньше 0. В этом случае уравнение корней не имеет.

$\displaystyle 2x^2-(3a+2)x+3a=0\\\\\text{D}=(-(3a+2))^2-4\cdot2\cdot3a=9a^2+12a+4-24a=9a^2-12a+4=\\\\=(3a-2)^2\\\\1)\quad \text{D}>0\quad \rightarrow\quad (3a-2)^2>0\quad \rightarrow\quad \boxed{a\in\bigg(-\infty;\frac{2}3\bigg)\cup\bigg(\frac{2}3;+\infty\bigg)}\\\\x_1=\frac{3a+2-(3a-2)}{4}=\frac{3a+2-3a+2}{4}=\frac{4}4=\boxed{1}\\\\x_2=\frac{3a+2+3a-2}{4}=\frac{6a}{4}=\boxed{\frac{3a}2}\\\\\\2)\quad \text{D}=0\quad\rightarrow\quad(3a-2)^2=0\quad\rightarrow\quad 3a=2\quad\rightarrow\quad\boxed{a=\frac{2}3}$

$\displaystyle x=\frac{3a+2}{4}=\frac{3\cdot\frac{2}3+2}{4}=\frac{2+2}4=\boxed{1}\\\\\\3)\quad \text{D}<0\quad\rightarrow\quad (3a+2)^2<0\quad\rightarrow\quad a\in\varnothing$