Question

Помогите! Как решить определённый интеграл?
Я не могу, формул таких нету, как подгонять?

Answer 1

$1)\; \int\limits^{2\pi }_{\pi }\, \frac{x+cosx}{x^2+2sinx}\, dx=\Big [\; t=x^2+2sinx\; ,\; dt=(2x+2cosx)dx=2(x+cosx)dx\; \Big ]=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^{2\pi }_{\pi }\, \frac{d(x^2+2cosx)}{x^2+2sinx}\, dx=\frac{1}{2}\cdot ln|x^2+2sinx|\Big |_{\pi }^{2\pi }=\frac{1}{2}\cdot (ln4\pi ^2-ln\pi ^2)=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (2ln2\pi -2ln\pi )=ln2\\\\2)\; \; \int\limits^{e}_1\, \frac{sin(lnx)}{x}dx=\Big [\; t=lnx\; ,\; dt=\frac{dx}{x}\; ]=\int\limits^1_0\, sint\cdot dt=-cost\Big |_0^1=\\\\=-(cos1-cos0)=1-cos1$

$3)\; \; \int\limits^1_0\, \frac{x\, dx}{\sqrt{x^4+x^2+1}}=\int\limits^1_0\, \frac{x\, dx}{\sqrt{(x^2+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}=\Big [\; t=x^2+\frac{1}{2}\; ,\; dt=2x\, dx\; \Big ]=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^{3/2}_{1/2}\, \frac{dt}{\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}} dx=\frac{1}{2}\cdot ln\Big |t+\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}\, \Big |\Big |_{1/2}^{3/2}=\frac{1}{2}\cdot(ln\frac{3+2\sqrt3}{2}-ln\frac{3}{2})=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (ln(\frac{3}{2}+\sqrt3)-ln\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\cdot ln(1+\frac{2\sqrt3}{3})$

$4)\; \; \int\limits^{\frac{\pi}{3}}_0\, tgx\cdot ln(cosx)\, dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}}\, \frac{ln(cosx)\cdot sinx}{cosx}\, dx=[\; u=cosx\; ,\; du=-sinx\. dx\; ]=\\\\=-\int\limits^{\frac{1}{2}}_1\, \frac{lnu}{u}\, du=-\int\limits^{\frac{1}{2}}_{1}\, lnu\cdot d(lnu)=-\frac{ln^2u}{2}\Big |_1^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot (ln^2\frac{1}{2}-ln^21)=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot (ln2^{-1})^2=-\frac{1}{2}\cdot (-ln2)^2=-\frac{ln^22}{2}$