Question

Помогите! Как решить неопределённый интеграл?

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^1_0\, \frac{4arctgx-x}{1+x^2}\, dx=4\int\limits^1_0\, arctgx\cdot \frac{dx}{1+x^2}-\int\limits^1_0\, \frac{xdx}{1+x^2}=\\\\=4\int\limits^1_0\, arctgx\cdot d(arctgx)dx-\frac{1}{2}\int\limits^1_0 \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\\\\=4\cdot \frac{arctg^2x}{2}\Big |_0^1-\frac{1}{2}\cdot ln(1+x^2)\Big |_0^1=2(arctg^21-arctg^20)-\frac{1}{2}\cdot (ln2-ln1)\\\\=2\cdot \frac{\pi ^2}{16}-\frac{1}{2}\cdot ln2=\frac{\pi ^2}{8}-\frac{ln2}{2}$

$2)\; \; \int\limits^0_{-1}\, \frac{3^{x}-2^{x}}{6^{x}}\, dx=\int\limits^0_{-1}\frac{3^{x}}{6^{x}}dx-\int\limits^0_{-1}\frac{2^{x}}{6^{x}}\, dx=\int\limits^0_{-1}\, \frac{dx}{2^{x}}-\int\limits^0_{-1}\,\frac{dx}{3^{x}}=\\\\=\int\limits^0_{-1}\, 2^{-x}dx-\int\limits^0_{-1}\, 3^{-x}dx=(-\frac{2^{-x}}{ln2}+\frac{3^{-x}}{ln3})\Big |_{-1}^0=-\frac{1}{ln2}+\frac{2}{ln2}+\frac{1}{ln3}-\frac{3}{ln3}=\\\\=\frac{1}{ln2}-\frac{2}{ln3}\\\\3)\; \; \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\, tg^3x\, dx=\Big [\; t=tgx\; ,\; x=arctgt\; ,\; dx=\frac{dt}{1+t^2}\; \Big ]=\int \limits _0^1\, \frac{t^3\, dt}{1+t^2}=$

$=\int\limits^1_0(t-\frac{t}{1+t^2})\, dx=(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}ln(1+t^2)) \Big |_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2=\frac{1}{2}(1-ln2)$