Question

Ребята, выручайте! Без Вас никак!
Помогите разобраться в теме
Решите и подробно распишите!
Любую задачку, любое количество!
За отдельную благодарность можете Всё, хочу на ваших решениях понять тему и научиться решать эти тяжки задачи! Надеюсь на Вас!
Заранее огромное спасибо!
Помоги :)​

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^0_{-1}\, \frac{3^{x}-2^{x}}{6^{x}}\, dx=\int\limits^0_{-1}\frac{3^{x}}{6^{x}}dx-\int\limits^0_{-1}\frac{2^{x}}{6^{x}}\, dx=\int\limits^0_{-1}\, \frac{dx}{2^{x}}-\int\limits^0_{-1}\,\frac{dx}{3^{x}}=\\\\=\int\limits^0_{-1}\, 2^{-x}dx-\int\limits^0_{-1}\, 3^{-x}dx=(-\frac{2^{-x}}{ln2}+\frac{3^{-x}}{ln3})\Big |_{-1}^0=-\frac{1}{ln2}+\frac{2}{ln2}+\frac{1}{ln3}-\frac{3}{ln3}=\\\\=\frac{1}{ln2}-\frac{2}{ln3}\\\\2)\; \; \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\, tg^3x\, dx=\Big [\; t=tgx\; ,\; x=arctgt\; ,\; dx=\frac{dt}{1+t^2}\; \Big ]=\int \limits _0^1\, \frac{t^3\, dt}{1+t^2}=$

$=\int\limits^1_0(t-\frac{t}{1+t^2})\, dx=(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}ln(1+t^2)) \Big |_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2=\frac{1}{2}(1-ln2)$

$3)\; \; \int\limits^2_0\, \frac{x\, dx}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+2}}=\int\limits^2_0\, \frac{x(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+2})}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+2})(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+2})}\, dx=\\\\=\int\limits^2_0\, \frac{x(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+2})}{(x+2)-(3x+2)}\, dx=\int\limits^2_0\, \frac{x(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+2})}{-2x}\, dx=$

$=-\frac{1}{2}\int\limits_0^2\, (\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+2})\, dx=-\frac{1}{2}\cdot (\frac{(x+2)^{3/2}}{3/2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x+2)^{3/2}}{3/2})\Big |_0^2=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot (4^{3/2}-2^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot (8^{3/2}-2^{3/2}))=-\frac{1}{3}\cdot (2^3-\sqrt{8^3}-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{8^3}+\frac{1}{3}\cdot \sqrt8)=\\\\=-\frac{1}{3}\cdot (8-\frac{4}{3}\cdot 16\sqrt2+\frac{2}{3}\sqrt2)=-\frac{1}{3}\cdot (8-\frac{62\sqrt2}{3})$

Answer 2

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!