Question

Решите номер 5 .Есть вложение. 25 б

Answer 1

Неопределенность (∝)⁰

Пусть

$y=(tgx)^{2x-\pi}$

Логарифмируем (логарифмирование сводит операцию возведения в степень к умножению):

lny=(2x-π)·lntgx

Находим предел lny

$\lim_{x \to\frac{\pi}{2}} (2x-\pi )\cdot tgx=0\cdot\infty$

легко свести в неопределенности (0/0) и применить правило Лопиталя:

$\lim_{x \to\frac{\pi}{2}} \frac{2x-\pi }{ctgx}=\frac{0}{0}=\lim_{x \to\frac{\pi}{2}} \frac{(2x-\pi)` }{(ctgx)`}= \lim_{x \to\frac{\pi}{2}} \frac{2 }{-\frac{1}{sin^2x} }=\lim_{x \to\frac{\pi}{2}}(-2\cdot sin^2x) = -2$

Итак,

$\lim_{x \to\frac{\pi}{2}}lny=-2\\ \\ \lim_{x \to\frac{\pi}{2}}y=e^{-2}\\ \\ \lim_{x \to\frac{\pi}{2}}tgx^{2x-\pi} =\frac{1}{e^2}$