Question

Решите уравнение..........

Answer 1

а)

$\sf (sin^22x+cos^2x)+\sqrt{3}(sin2x+cosx)+\dfrac{3}{2}=0$

Вводим две замены: sin2x=a; cosx=b.

$\sf (a^2+b^2)+\sqrt{3}(a+b)+\dfrac{3}{2}=0 \\ a^2+\sqrt{3}a+\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}b+b^2=0 \\ D=3-4\cdot\left(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}b+b^2\right)=-4b^2-4\sqrt{3}b-3=-(2b+\sqrt{3})^2$

Значение выражения -(2b+√3)²≤0 при любых b. Уравнение имеет решения только при 2b+√3=0. Задаем условие:

$\sf 2cosx+\sqrt{3}=0 \\ cosx=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \ k \in \mathbb Z$

Полагая D=0, возвращаемся к уравнению.

$\sf a=\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \\ sin2x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \left [ \begin{array}{I}\sf 2x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k \\ \sf 2x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k \end{array} \ \Rightarrow \ \left [ \begin{array}{I}\sf x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k\\ \sf x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi k \end{array} \end{array}; \ k \in \mathbb Z$

Сопоставляя полученное ранее условие и решения, имеем одну серию корней x=5π/6+2πk, которая и будет являться ответом к пункту а).

б)

Загоним серию корней в двойное неравенство.

$\sf 2.5\pi \leq \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k \leq 5\pi \\ \dfrac{15-5}{6}\leq2k \leq\dfrac{30-5}{6}\\ \dfrac{5}{6}\leq k \leq \dfrac{25}{12}$

Неравенство имеет целые решения k=1 и k=2. При данных k корни попадут в указанный промежуток.

$\sf x_1=\dfrac{5\pi}{6}+2 \pi=\dfrac{17\pi}{6} \\ x_2=\dfrac{5\pi}{6}+4\pi=\dfrac{29\pi}{6}$

Ответ:  а) x=5π/6+2πk; k∈Z  б) x=17π/6, x=29π/6