Question

Решите уравнение (3sinx-2cosx)(1-sinx)=cos^2x

Answer 1

$(3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)=\cos^2x\\ \\ (3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)-\cos^2x=0\\ \\ (3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)-(1-\sin^2x)=0\\ \\ (3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)-(1-\sin x)(1+\sin x)=0$

Выносим за скобки общий множитель (1-sin x).

$(1-\sin x)(3\sin x-2\cos x-1-\sin x)=0\\ \\ (1-\sin x)(2\sin x-2\cos x-1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$1-\sin x=0\\ \\ \sin x=1~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

$2\sin x-2\cos x-1=0\\ \\ \sin x-\cos x=\dfrac{1}{2}~~~~\bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \sin x\cdot \cos \dfrac{\pi}{4}-\cos x\cdot \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \boxed{x_2=(-1)^k\cdot \arcsin\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)+\dfrac{\pi}{4}+\pi k, k \in \mathbb{Z}}$