Question

.Помогите решить интегралы..

Answer 1

Ответ:

$\int\limits{e^{sin^2x}sin2x \, dx=e^{sin^2x}+C$

$\int\limits{\frac{x\cdot arcsinx}{\sqrt{1-x^2} }} \, dx =x-\sqrt{1-x^2}\cdot arcsinx+C$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits{e^{sin^2x}sin2x \, dx=\int\limits{e^{sin^2x}\cdot2sinx\cdot cosx \, dx=\begin{vmatrix}t=sin^2x \\ dt=2sinx\cdot cosxdx\end{vmatrix}=$

$=\int\limits{e^t} \, dt=e^t+C=e^{sin^2x}+C$

$\int\limits{\frac{x\cdot arcsinx}{\sqrt{1-x^2} }} \, dx$

Интегрируем по частям

$\int\limits{u} \, dv=u\cdot v-\int\limits {v} \, du$

$u=arcsinx \; \; \; \; \;du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$dv=\frac{x}{\sqrt{1-x^2} }dx \; \; \;v=\int\limits{\frac{x}{\sqrt{1-x^2} } } \, dx=\begin{vmatrix}t=x^2\\dt=2xdx\end{vmatrix}=\frac{1}{2} \int\limits{\frac{1}{\sqrt{1-t} } } \, dt=$

$=-\frac{1}{2} \int\limits{(1-t)^{-\frac{1}{2} }} \,d(1-t)=-\frac{1}{2}\cdot 2(1-t)^{\frac{1}{2} }=-\sqrt{1-t}=-\sqrt{1-x^2}$

Подставляем в формулу интегрирования по частям

$\int\limits{\frac{x\cdot arcsinx}{\sqrt{1-x^2} }} \, dx=-\sqrt{1-x^2}\cdot arcsinx-\int\limits{-\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } } \, dx=$

$-\sqrt{1-x^2}\cdot arcsinx+\int\limits{} \, dx=x-\sqrt{1-x^2}\cdot arcsinx+C$