Question

Найди корни данного уравнения:

1−tgx/1+tgx=√ 3

находящиеся в промежутке значений: x∈[−π;2π]


1. Сколько всего таких корней :


2. Наименьший корень: x=
π

3. Наибольший корень: x=
π

Answer 1

tgx не существует при  cosx=0

ОДЗ:

{cosx≠0

{1+tgx≠0⇒  tgx≠-1

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

1-tgx=√3+√3tgx;

1-√3=(1+√3)tgx

$tgx=\frac{1-\sqrt{3} }{1+\sqrt{3} } \\ \\ x=arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +\pi k, k\in Z$

Корни, принадлежащие промежутку [-π;2π]:

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) }$

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +\pi$

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +2\pi$

Всего три.

Наименьший корень:

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) }$

Наибольший корень:

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +2\pi$

О т в е т верный. Но авторы задачи предполагали другое решение.

Так как

$1=tg\frac{\pi }{4}$

то

$\frac{tg\frac{\pi }{4}-tgx }{tg\frac{\pi }{4}+x }=\sqrt{3}$

По формуле тангенса разности двух углов

$tg(\frac{\pi }{4} -x)=\sqrt{3}\\ \\tg(x-\frac{\pi }{4})=- \sqrt{3}\\ \\ x-\frac{\pi }{4}=arctg(-\sqrt{3})+\pi n, n\in Z\\ \\x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}+\pi n, n\in Z\\ \\ x= - \frac{\pi }{12}+\pi n, n\in Z$

Корни, принадлежащие промежутку [-π;2π]:

$x_{1}=-\frac{\pi }{12}$

$x_{2}=-\frac{\pi }{12}+\pi=\frac{11\pi }{12}$

$x_{3}=-\frac{\pi }{12}+2\pi=\frac{23\pi }{12}$

Всего три.

Наименьший корень:

$x_{1}=-\frac{\pi }{12}$

Наибольший корень:

$x_{3}=-\frac{\pi }{12}+2\pi=\frac{23\pi }{12}$

Можно доказать, что ответы одинаковые, но это непростая задача.

$tg(-\frac{\pi }{12}) =\frac{1-\sqrt{3} }{1+\sqrt{3} }$