Question

Найти интеграл помогите

Answer 1

Чтобы вычислить такой интеграл, надо хорошо знать производные элементарных функций. Для этого примера надо помнить, что  $(sinx)'=cosx$  .

$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{cosx}{sin^2x}\, dx=\int\limits^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi}{4}}(sinx)^{-2}\cdot cosx\, dx=[\; t=sinx\; ,\; dt=cosx\, dx\; ,\\\\ t_1=sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\; ,\; t_2=sin\frac{\pi}{2}=1\; ]=\int\limits^1_{\frac{\sqrt2}{2}}t^{-2}\cdot dt=\frac{t^{-1}}{-1}\Big |_{\frac{\sqrt2}{2}}^1=-\frac{1}{t}\Big |^1_ {\frac{\sqrt2}{2}}=\\\\=-\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt2/2}=\frac{2}{\sqrt2}-1=\sqrt2-1$