Question

Ребята, выручайте! Без Вас никак!
Помогите разобраться в теме
Решите и подробно распишите!
Любую задачку, любое количество!
За отдельную благодарность можете Всё, хочу на ваших решениях понять тему и научиться решать эти тяжки задачи! Надеюсь на Вас!
Заранее огромное спасибо!
Помоги :)

Answer 1

$19)\; \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}}=[\; NOK(2,3)=6\; \to \; \; (x+1)=t^6\; ,\; x=t^6-1\; ,\\\\dx=6t^5\, dt\; ,\; \sqrt{x+1}=\sqrt{t^6}=t^3\; ,\; \sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{t^6}=t^2\; ]=\\\\=\int \frac{(t^6-1)\cdot 6t^5\, dt}{t^3+t^2}=6\int \frac{(t^6-1)\cdot t^5}{t^2\cdot (t+1)}\, dt=6\int \frac{(t^6-1)\cdot t^3}{t+1}\, dt=6\int \frac{t^9-t^3}{t+1}\, dt=\\\\=6\int (t^8-t^7+t^6-t^5+t^4-t^3)dt=6\cdot (\frac{t^9}{9}-\frac{t^8}{8}+\frac{t^7}{7}-\frac{t^6}{6}+\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4})+C=$

$=\frac{2}{3}\sqrt[6]{(x+1)^9}-\frac{3}{4}\sqrt[6]{(x+1)^8}+\frac{6}{7}\sqrt[6]{(x+1)^7}-(x+1)+\frac{6}{5}\sqrt[6]{(x+1)^5}-\\\\-\frac{3}{2}\sqrt[6]{(x+1)^4}+C\; ;$

$20)\; \int \frac{dx}{(x+1)^{3/2}+(x+1)^{1/2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^3}+\sqrt{x+1}}=[\; x+1=t^2\; ,\; x=t^2-1\; ,\\\\dx=2t\, dt\; ,\; \sqrt{x+1}=t\; ,\; \sqrt{(x+1)^3}=\sqrt{(t^2)^3}=\sqrt{t^6}=t^3\; ]=\\\\=\int \frac{2t\, dt}{t^3+t}=2\int \frac{t\, dt}{t(t^2+1)}2\int \frac{dt}{t^2+1}=2\cdot arctgt+C=2\cdot arctg\sqrt{x+1}+C\; .$

P.S.  В №19 находили наименьшее общее кратное показателей корней, чисел 2 и 3. А также делили числитель неправильной дроби на знаменатель уголком. В №20 не надо находить НОК показателей корней, т.к. корни одной и той же степени, второй.