Question

70 баллов. Решить систему линейных уравнений тремя способами: 1) по формулам Крамера;
2) средствами матричного исчисления; 3) методом Гаусса.

Answer 1

$1)\; \; \Delta =\left|\begin{array}{ccc}1&-1&1\\2&1&1\\1&1&2\end{array}\right|=(2-1)+(4-1)+(2-1)=5\ne 0\\\\\\\Delta _1=\left|\begin{array}{ccc}5&-1&1\\6&1&1\\4&1&2\end{array}\right|=5(2-1)+(12-4)+(6-4)=15\\\\\\\Delta _2=\left|\begin{array}{ccc}1&5&1\\2&6&1\\1&4&2\end{array}\right|=(12-4)-5(4-1)+(8-6)=-5\\\\\\\Delta _3=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&5\\2&1&6\\1&1&4\end{array}\right|=(4-6)+(8-6)+5(2-1)=5\\\\\\x_1=\frac{15}{5}=3\; \; ,\; \; x_2=\frac{-5}{5}=-1\; \; ,\; \; x_3=\frac{5}{5}=1$

$2)\; \; \Delta =5\ne 0\\\\A_{11}=2-1=1\; ,\; \; A_{12}=-(4-1)=-3\; ,\; A_13}=2-1=1\\\\A_{21}=-(-2-1)=3\; ,\; A_{22}=2-1=1\; ,\; A_{23}=-(1+1)=-2\\\\A_{31}=-1-1=-2\; ,\; A_{32}=-(1-2)=1\; ,\; A_{33}=1+2=3\\\\A^{-1}=\frac{1}{5}\cdot \left(\begin{array}{ccc}1&3&-2\\-3&1&1\\1&-2&3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\6\\4\end{array}\right)=\frac{1}{5}\cdot \left(\begin{array}{c}15\\-5\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-1\\1\end{array}\right)$

$3)\; \; \left(\begin{array}{rrrr}1&-1&1&|\, 5\\2&1&1&|\, 6\\1&1&2&|\, 4\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rrrr}1&-1&1&|\; \; \; 5\\0&3&-1&|-4\\0&2&1&|-1\end{array}\right)\sim \\\\\\\sim \left(\begin{array}{rrrr}1&-1&1&|\; \; \; 5\\0&3&-1&|-4\\0&0&5&|\; \; \; 5\end{array}\right)\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x_1-x_2+x_3=5\\\; \; \; 3x_2-x_3=-4\\\; \; \quad 5x_3=5\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{ccc}x_1=5-1+x_2\\3x_2=-4+1\\x_3=1\end{array}\right\; \;\left\{\begin{array}{ccc}x_1=3\\x_2=-1\\x_3=1\end{array}\right$