Question

1) Решить тригонометрическое уравнение

4cos³x - (sin(x) + cos(x)) = 0

2) Найти сумму корней на промежутке [ -π; 3π ]

Answer 1

Очевидно что  сosx≠0 ,тк тогда  sin x=1  (-1≠0)

Тогда можно поделить  обе части равенства  на  сos x

4*cos^2(x) -(tg(x) +1) =0

Их основного  тригонометрического тождества:

cos^2 x+ sin^2 x=  1 (делим обе части на сos^2(x) )

1+tg^2(x) =1/cos^2(x)

тогда :  cos^2(x)= 1/( 1+tg^2(x) )

4/( 1+tg^2(x) ) -(tgx+1)=0

tgx=t

4/(1+t^2) -(t+1) =0

(t+1)*(1+t^2)=4

при  t<=-1   функция cлева  не  положительна, тк 1+t^2>0

при  t>1     t+1>2; 1+t^2>2 значение функции  больше  чем  2^2=4.

при    -1<t<1   t+1<2  ;1+t^2<2  значение  функции  меньше  2^2=4

Значит единственное возможное решение:  t=1  (2*2=4)

tg(x)=1

x=π/4 +π*n n-целое  число

 -π<=π/4 +π*n<=3π

-1<=1/4+n<=3

 -4<=1+4n<=12

 -5<=4*n<=11

   -1,25<=n<=2,75

    n=-1;0;1;2

Cумма корней: π/4 *4  +π*(-1+0+1+2)=π+2π=3π

Ответ: x=π/4 +π*n   n-целое число ; cумма  корней                                      на промежутке [-π;3π]  равна 3π.