Question

найдите расстояние между точками графика функции $f(x) = x^{3} - 27x$, в которых касательные к этому графику перпендикулярны оси ординат.


Пожалуйста, распишите это так, чтобы овощ понял )

Answer 1

Ось 0Y - ось ординат, а ось 0X - ось абсцисс.
Прямая перпендикулярна оси ординат, то есть она параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Уравнение касательной:
$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$
Чтобы касательная был параллельна 0X, должно выполниться условие f'(x0)=0.
$f'(x)=3x^2-27 \\3x_{0}^{2}-27=0 \\x_{0}^2=9 \\x_{01}=3 \\x_{02}=-3$
Теперь найдем сами касательные:
$f(3)=27-27*3=-54 \\f(-3)=54 \\y_1=0*(x-3)-54=-54 \\y_2=0*(x+3)+54=54$
Так как 0Y перпендикулярна к обеим касательным, то расстояние между ними будет длиной оси 0Y, то есть модуль разности y-координат касательных.
$L=|y_1-y_2|=|-54-54|=108$
Ответ: 108