Question

Даны арифметическая и геометрическая прогрессия.Первые члены обеих прогрессий равны 3.Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической прогрессии на 6.Третьи члены прогрессий равны.Найдите прогрессии,если известно,что они возрастающие.Заранее благодарю

Answer 1

a₁ = b₁ = 3  

Составим систему уравнений по условию:

$\displaystyle\tt \left \{ {{a_2=b_2+6} \atop {a_3=b_3 \ \ \ \ }} \right. \ \Rightarrow \ \left \{ {{a_1+d=b_1q+6} \atop {a_1+2d=b_1q^2 \ \ }}\ \Rightarrow \ \left \{ {{3+d=3q+6} \atop {3+2d=3q^2 \ \ }} \ \Rightarrow$

$\displaystyle\tt \Rightarrow \left \{ {{d=3q+6-3 \ \ \ \ \ } \atop {3q^2-2d-3=0 \ \ }}\Rightarrow \left \{ {{d=3q+3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {3q^2-2d-3=0 \ \ }}$

Подставим значение d в нижнее уравнение:

$\tt {3q^2-2(3q+3)-3=0$

$\tt 3q^2-6q-6-3=0$

$\tt 3q^2-6q-9=0 \ |:3$

$\tt q^2-2q-3=0$

$\tt D=4+12=16=4^2$

$\tt q_1=\cfrac{2-4}{2} =-1$  не подходит, т.к. прогрессия возрастающая

$\tt q_2=\cfrac{2+4}{2} =3$

Найдем d:

$\tt d=3q+3=3\cdot 3+3=12$

Искомые прогрессии:

арифметическая (аₙ): 3; 15; 27; ...

a₁ = 3;

a₂ = a₁ + d = 3 + 12 = 15;

a₃ = a₂ + d = 15 + 12 = 27;

геометрическая (bₙ):  3; 9; 27; ...

b₁ = 3;

b₂ = b₁q = 3 * 3 = 9

b₃ = b₂q = 9 * 3 = 27