Question

Найти возрастание и убывание производных f(x)= все под корнем 4x-x^2

Answer 1

$f(x)=\sqrt{4x-x^2}\\f'(x)=\frac{(4x-x^2)'}{2\sqrt{4x-x^2}}=\\\frac{4-2x*1}{2\sqrt{4x-x^2}}=\frac{-(x-2)}{\sqrt{4x-x^2}};\\4x-x^2>0; x^2-4x<0=>0<x<4\\f''(x)=(\frac{-x+2)}{\sqrt{4x-x^2}})'=\frac{-1*\sqrt{4x-x^2}-\frac{(-x+2)*(4x-x^2)'}{2\sqrt{4x-x^2}}}{\sqrt{4x-x^2}^2}=\frac{\frac{(x-2)(4-2x)}{2\sqrt{4x-x^2}}-\sqrt{4x-x^2}}{4x-x^2}=\\\frac{\frac{-(x-2)(x-2)-4x+x^2}{\sqrt{4x-x^2}}}{4x-x^2}=\frac{-x^2+4x-4-4x+x^2}{\sqrt{4x-x^2}*(4x-x^2)}=\frac{-4}{-x(x-4)\sqrt{4x-x^2}}$

Когда производная положительная - функция возрастает, а производная убывает (т.к. через вторую производную мы нашли, что кривая всегда выпуклая и первая производная равна тангенсу угла касательной к точке функции), когда отрицательная производная - функция убывает, а производная уменьшается (всегда выпуклая кривая).

Ответ: функция : возрастает - (0;2); убывает - (2;4)

            производная убывает - (0;4)