Question

Прошу помощи, ответ понимаю какой будет но не могу к нему прийти
$\left \{ {{logx_{27}(2y-x) =logx_{3}(y-x) } \atop {x^{2}+y^{2}=1 }} \right.$

Answer 1

1) Из свойство логарифма  получаем следующую систему:

2y-x=(y-x)^3                    одз: 2y-x>0  ;  y-x>0

x^2+y^2=1

2y-x=(y-x)*(y-x)^2

2y-x=(y-x)*(x^2-2*xy+y^2)

2y-x=(y-x)*(1-2*xy)

(y-x)*(1-2xy) -(y-x) -y=0

(y-x)*(-2*xy) -y=0

y*( (y-x)*(-2x) -1)=0

y*(2x^2-2*xy-1)=0

1)  y=0

   x=+-1 ( 1 не  удовлетворяет одз)

  y=0

  x=-1

   

2) 2x^2-2*xy-1=0

    2*x^2-2*xy-(x^2+y^2)=0

     x^2-2*xy-y^2=0

    Заметим что x≠0

 тк  в этом  случае  x=y=0 ,что  несовместимо с условием x^2+y^2=1.

тогда можно поделить на x^2.

1-2*(y/x)-(y/x)^2=0

y/x=r

1-2*r-r^2=0

r^2+2r-1=0

r^2+2r+1=2

(t+1)^2=2

r=-1+-√2   t=1/r=x/y

t= 1+-√2         (r*t=(+-√2+1)*(+-√2-1)=1)

     x/y=1+-√2

      x=y*(1+-√2)

      y^2+y^2*(1+-√2)^2=1

       y^2*(1+(1+-√2)^2)=1

       y^2= 1/(1+(1+-√2)^2)

        1+(1+-√2)^2=1+1+2+-2*√2= 4+-2*√2

      y^2= 1/(4+-2√2)=(4-+2*√2)/(16-8)=4+-2√2/4 =  (2+-√2)/2

       y=+-√(2+-√2)/2)

      x^2=1- (2+-√2)/2=(2-2-+√2)/2= -+√2/2

      x^2=1/√2

      x=1/ $\sqrt[4]{2}$ <1

      Вот тут придется проверить область определения :

   y>1/$\sqrt[4]{2}$

 тк  x-положительно то 2 условие уже  выполняется автоматически

    таким образом  для y возможно :

y=√(2+√2)/2) подходит тк>1

Cравним:

√2/2 >(2-√2)/2

значит этот вариант не подходит

 Ответ: x1=1/$\sqrt[4]{2}$ ; y1=√(2+√2)/2) ;x2=-1;y2=0