Question

Разложить многочлен на линейные множители, если известен один корень z0

Answer 1

Если известен один комплексный корень многочлена   $z_0=2+3i$  , то известен и второй корень, сопряжённый ему, это будет  $z_1=2-3i$  .  Значит в разложении на линейные множители многочлена  p(z)  будут присутствовать такие множители :

$(z-(2+3i))\cdot (z-(2-3i))=(z-2-3i)\cdot (z-2+3i)=z^2-4z+13$

Разделим многочлен  p(z)  на многочлен  $z^2-4z+13$  . Получим

$\frac{z^4-9z^3+39z^2-89z+78}{z^2-4z+13}=z^2-5z+6\\\\z^2-5z+6=0\; \; \to \; \; z_2=2\; ,\; z_3=3\; \; (teorema\; Vieta)\; \; \Rightarrow \\\\z^2-5z+6=(z-2)(z-3)$

Окончательно получим

$z^4-9z^3+39z^2-89z+78=(z-2-3i)(z-2+3i)(z-2)(z-3)$