Question

Доказать, что число N = 11 ... 122 ... 2 (где k единиц и k двоек) является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Answer 1

$N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2\cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)$

1)

$10^{2k-1}+...+10^{k}$

$a_1=10^{2k-1}$

$a_2=10^{2k-2}$

...

$a_k=10^{k}$

$q=\frac{10^{2k-2}}{10^{2k-1}}=10^{-1}$

$S_{k1}=\frac{qa_k-a_1}{q-1}=\frac{10^{-1}\cdot10^k-10^{2k-1}}{10^{-1}-1}=\frac{10^{-1}\cdot10^k-10^{2k}\cdot10^{-1}}{ \frac{1}{10} -1}=$

$\frac{10^{-1}\cdot(10^k-10^{2k})}{ \frac{9}{10}}=\frac{ \frac{1}{10} \cdot(10^k-10^{2k})}{- \frac{9}{10}}=\frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}$

2)

$10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0$

$b_1=10^{k-1}$

$b_2=10^{k-2}$

...

$b_{k}=1$

$q= \frac{10^{k-2}}{10^{k-1}}=10^{-1}$

$S_{k2}=\frac{qb_k-b_1}{q-1}=\frac{10^{-1}\cdot1-10^{k-1}}{10^{-1}-1}=$

$\frac{10^{-1}\cdot1-10^{k}\cdot10^{-1}}{ \frac{1}{10} -1}=\frac{10^{-1}\cdot(1-10^{k})}{- \frac{9}{10}}=$

$\frac{ \frac{1}{10} \cdot(1-10^{k})}{- \frac{9}{10}}=\frac{ 10^{k}-1}{9}$

============================

$N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2\cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)=$

$\frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}+2\cdot\frac{ 10^{k}-1}{9}= \frac{10^{2k}+10^k-2}{9}=$

$\frac{10^{2k}}{9}+\frac{10^k}{9}-\frac{2}{9}=$

$\frac{10^{2k}}{9}-2\cdot\frac{10^k}{9}+\frac{1}{9}+3\cdot\frac{10^k}{9}- \frac{3}{9} =$

$\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right) ^2+3\left(\frac{10^k}{9}- \frac{1}{3} \right) =$

$\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right) ^2+\left(\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right) =$

$\left(\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} \right)\cdot\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3}+1\right)=n(n+1)$

$n=\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3}$