Question

Интегралы. 103, 106, 109. 98 баллов. Необходимо решить в течении 1,5 часа. Иначе решение потеряет смысл.

Answer 1

$103)\; \; \int \frac{e^{tg3x}}{cos^23x}\, dx=[\; t=tg3x\; ,\; dt=\frac{dx}{xos^23x}\cdot 3\, dx\; ]=\\\\=\frac{1}{3}\int e^{t}\, dt=\frac{1}{3}\cdot e^{t}+C=\frac{1}{3}\cdot e^{tg3x}+C\\\\106)\; \; \int \frac{x^2}{1+x^6}\, dx=\int \frac{x^2\, dx}{1+(x^3)^2}=[\; t=x^3\; ,\; dt=3x^2\, dx\; ]=\\\\=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{1+t^2}=\frac{1}{3}\cdot arctgt+C=\frac{1}{3}\cdot arctg(x^3)+C$

$109)\; \; \int x\cdot cos2x\, dx=[\; u=x,\; du=dx,\; dv=cos2x\, dx,\; v=\frac{1}{2}sin2x\; ]=\\\\=uv-\int v\, du=\frac{x}{2}\cdot sin2x-\frac{1}{2}\int sin2x\, dx=\frac{x}{2}\cdot sin2x-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})\cdot cos2x+C=\\\\=\frac{x}{2}\cdot sin2x+\frac{1}{4}\cdot cos2x+C\\\\\\\star \; \; \int cos(kx+b)\, dx=\frac{1}{k}\cdot sin(kx+b)+C\; \; \star \\\\\star \; \; \int sin(kx+b)\, dx=-\frac{1}{k}\cdot cos(kx+b)+C\; ;\quad \Big (\; kx+b=2x+0=2x\; \Big )\; \star$