Question

воздушный пузырь всплывает в озере. радиус пузыря на глубине 70 м - 1 мм. каким станет радиус пузыря возде поверхности воды если его температура одинакова на всех глубинах?

Answer 1

• Поскольку температура одинакова ($T=\mathrm{const}$), то по закону Бойля-Мариотта для газа внутри пузыря выполняется условие $pV=\mathrm{const}$
• Обозначим положение $1$ пузыря его положением на глубине $h$, а положением $2$ - его положение у поверхности воды
• На глубине на пузырь будет действовать атмосферное давление $p_0$ с давлением столба жидкости плотностью $\rho$

$p_1=p_0+\rho gh$

• На поверхности же на пузырь давит только атмосферное

$p_2=p_0$

• На глубине пузырь имел радиус $r$, а на поверхности будет иметь $R$

$V_1=\dfrac{4}{3}\pi r^3\bigskip\\V_2=\dfrac{4}{3}\pi R^3$

• Воспользуемся полученным ранее условием $pV=\mathrm{const}$

$p_1 V_1=p_2 V_2\, ,\medskip\\\left(p_0+\rho gh\right)\dfrac{4}{3}\pi r^3=p_0\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^3\, ,\medskip\\ R=r\sqrt[3]{\dfrac{p_0+\rho g h}{p_0}}$

• Подставим значения и найдём численный ответ

$R=1\,\mathrm{mm}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{10^5\,\mathrm{Pa}+7\cdot 10^5\,\mathrm{Pa}}{10^5\,\mathrm{Pa}}}=1\,\mathrm{mm}\cdot\sqrt[3]{8}=2\,\mathrm{mm}$

Ответ. $2\,\mathrm{mm}$