Question

Трое студентов собираются вместе купить два одинаковых ноутбука, но сложив вместе все имеющиеся у них деньги, они обнаружили, что у них не хватает даже на один ноутбук. Если бы у первого студента было в два раза больше денег, то на покупку ноутбуков им бы не хватило 34 000 рублей. Если бы у третьего студента было втрое больше денег, то после покупки двух ноутбуков у них бы осталось 6 000 рублей. Сколько стоит один ноутбук, если известно, что цена и количество денег у каждого из студентов есть целое число тысяч рублей, причём у второго студента на 9000 рублей больше, чем у первого?

Answer 1

Здесь и далее расчёт будем вести в тысячах рублей для удобства.

Пусть у первого студента x тыс. рублей, у второго x+9 тыс. рублей, у третьего y тыс. рублей, один ноутбук стоит z тыс. рублей. По условию задачи:

$\begin{cases}2x+y+9<z\\3x+y+9=2z-34\\2x+3y+9=2z+6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+y+9<z\\y=2z-3x-43\\2x+6z-9x-129+9=2z+6\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}2x+y+9<z\\y=2z-3x-43\\x=\frac47z-18\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x+y+9<z\\y=\frac27z+11\\x=\frac47z-18\end{cases}$

Учитывая выражения для x и y, а также то, что количество денег у каждого студента отлично от 0, переходим к системе неравенств:

$\begin{cases}\frac87z-36+\frac27z+11+9<z\\\frac47z-18>0\\\frac27z+11>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac37z<16\\\frac47z>18\\\frac27z>-11\end{cases}\Rightarrow}$

Цена одного ноутбука в тысячах рублей должна быть целым неотрицательным числом, поэтому

$\begin{cases}z<37\frac13\\z>31\frac12\\z>-38\frac12\end{cases}\approx\;\;32\leq z\leq37$

Из выражений первой системы для x и y очевидно что z должно быть кратно 7. В интервале [32; 37] такое число одно - это число 35. Значит, цена одного ноутбука составляет 35 тысяч рублей.