Question

3 sin2x + 2cos2x = 3​

Answer 1

Пользуемся формулой введения вспомогательного угла:

$a \sin \alpha + b \cos \alpha = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } sin( \alpha + \gamma ), \: \gamma = \arctg \frac{b}{a} = \arcsin \frac{b}{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }}= \arccos \frac{a}{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }}$

$3 \sin 2x + 2 \cos 2x = 3 \\ \\ \sqrt{ {3}^{2} + {2}^{2} } \sin(2x + \gamma ) = 3, \: \gamma = \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } \\ \\ \sqrt{13} \sin(2x + \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } ) = 3 \\ \\ \sin(2x + \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } ) = \frac{3}{ \sqrt{13} } \\ \\ 2x + \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } = ( - 1) ^{n} \arcsin \frac{3}{ \sqrt{13} } + \pi n \\ \\ 2x = ( - 1) ^{n} \arcsin \frac{3}{ \sqrt{13} } - \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } + \pi n \\ \\ x = ( - 1) ^{n} \times \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{ \sqrt{13} } - \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } + \frac{1}{2} \pi n \\ \\ OTBET: ( - 1) ^{n} \times \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{ \sqrt{13} } - \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{ \sqrt{13} } + \frac{1}{2} \pi n, \: n \in Z$