Question

Линиями уровня функции z = 4x^2 + 3y^2 двух переменных являются …

Выберите один ответ:
Гиперболы
Нет правильного ответа
Окружности
Эллипсы
Параболы
Пересекающиеся прямые
Параллельные прямые

Answer 1

Ответ:

Эллипсы

Пошаговое объяснение:

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости xOy, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С. Другими словами, линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Дана функция z=4·x²+3·y².

Чтобы найти линии уровня функции рассмотрим уравнение:

4·x²+3·y²=C

Так как 4·x²+3·y²≥0 (то есть C≥0) и при С=0 получаем точку (0; 0), то рассмотрим случай когда C>0:

$\tt \displaystyle 4 \cdot x^{2} +3\cdot y^{2}=C \Leftrightarrow \frac{4}{C} \cdot x^{2} +\frac{3}{C} \cdot y^{2}=1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\dfrac{C}{4} } +\frac{y^{2}}{\dfrac{C}{3} }=1 \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\left ( \sqrt{ \dfrac{C}{4}} \right )^{2} }} +\frac{y^{2}}{\left ( \sqrt{ \dfrac{C}{3}} \right )^{2} }} =1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2} } +\frac{y^{2}}{b^{2} }=1 , a=\sqrt{ \dfrac{C}{4}} , b= \sqrt{ \dfrac{C}{3}}.$

Последнее уравнение - это каноническое уравнение эллипса.