Question

помогите пожалуйста,задача из Егэ(профиль)

Answer 1

$(2(x - 1) {)}^{2} (x + 1 {)}^{2} - \sqrt{2} ( {x}^{2} - 1) - 6 = 0 \\ 4((x - 1)(x + 1) {)}^{2} - \sqrt{2} ( {x}^{2} - 1) - 6 = 0 \\ 4( {x}^{2} - 1 {)}^{2} - \sqrt{2} ( {x}^{2} - 1) - 6 = 0 \\ \\ {x}^{2} - 1 = y \\ \\ 4 {y}^{2} - \sqrt{2} y - 6 = 0 \\ D = 2 + 4 \times 4 \times 6 = 98 \\ \\ \sqrt{D} = \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7 \sqrt{2} \\ \\ 1) \: y = \frac{ \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} }{8} = - \frac{3 \sqrt{2} }{4} \\ {x}^{2} - 1 = - \frac{3 \sqrt{2} }{4} \\ \\ {x}^{2} = 1 - \frac{3 \sqrt{2} }{4} < 0$
Корней нет

$2) \: y = \frac{ \sqrt{2} + 7 \sqrt{2} }{8} = \sqrt{2} \\ \\ {x}^{2} - 1 = \sqrt{2} \\ {x}^{2} = 1 + \sqrt{2} \\ x = ^{ + } _{ - } \sqrt{1 + \sqrt{2} }$
б) сравним квадраты чисел:
$1 + \sqrt{2} > 2 \\ \sqrt{1 + \sqrt{2} } > \sqrt{2} \\ \\ - \sqrt{1 + \sqrt{2} } < - \sqrt{2}$
Отрицательный корень не входит в промежуток!

Сравним положительный корень с правым промежутком, возведя обе части в 6-ю степень:

$( \sqrt{1 + \sqrt{2} } {)}^{6} = (1 + \sqrt{2} {)}^{3} = 1 + 3 \sqrt{2} + 3 \times 2 + 2 \sqrt{2} = \\ = 7 + 5 \sqrt{2} \\ \\ (\sqrt[3]{4} {)}^{6} = {4}^{2} = 16 \\ \\ 7 + 5 \sqrt{2} < 16 \\ \\ \sqrt{1 + \sqrt{2} } < \sqrt[3]{4}$
(P. S. Также можно просто посчитать приближенно: √2< 1,5 так как 1,5²=2,25
Даже если взять √2≈1,5 то:
7+5√2≈7+5*1,5=7+7,5=14,5 что всё равно меньше чем 16)

$OTBET: \: a) \ - \sqrt{1 + \sqrt{2} }; \: \sqrt{1 + \sqrt{2} } \\ b) \: \sqrt{1 + \sqrt{2} }$