Question

Найдите то значение ∛-64 , главное значение аргумента которого находится в I четверти. В ответе укажите его вещественную часть.

Answer 1

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{-64}\\\\z=-64=-64+0\cdot i\; \; \Rightarrow \; \; a=-64\; ,\; b=0\\\\|z|=\sqrt{(-64)^2+0^2}=64\\\\cos\varphi =\frac{-64}{64}=-1<0\; ,\; \; sin\varphi =\frac{0}{64}=0\; ,\; \; tg\varphi =0\; \; \to \; \; \varphi =argz=\pi \\\\z=64\cdot \Big (cos\pi +i\, sin\pi \Big )\; \; \Rightarrow \; \; \sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{64}\cdot \Big (cos\frac{\pi +2\pi k}{3}+i\, sin\frac{\pi +2\pi k}{3}\Big )\; ,\; k=0,1,2.\\\\k=0:\; \; w_0=4\cdot \Big (cos\frac{\pi }{3}+i\, sin\frac{\pi}{3}\Big )\; ,\; \; w_0=4\cdot (\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt3}{2})=2+2\sqrt3\cdot i$

$\boxed {\frac{\pi}{3}\in \Big (\, 0,\frac{\pi }{2}\, \Big )\, }\\\\k=1:\; \; w_1=4\cdot \Big (cos\pi +i\, sin\pi )\; ,\; \; w_1=4(-1+i\cdot 0)=-4\\\\\varphi _1=\pi \in [\, \frac{\pi}{2},\pi \,]\\\\k=2:\; \; w_2=4\cdot (cos\frac{5\pi }{3}+i\cdot sin\frac{5\pi }{2}\Bg )\; ,\; \; w_2=2-2\sqrt3\cdot i\\\\\varphi _2=\frac{5\pi }{3}\in \Big (\frac{3\pi }{2},2\pi \, \Big )\\\\Otvet:\; \; Re\, w_0=4\cdot cos\varphi _0=4\cdot cos\frac{\pi }{3}=2\, .$